Energia potencjalna satelity

Satelita o masie m okrąża Ziemię na orbicie o promieniu R i o środku okręgu w środku Ziemi.
Jak jest energia potencjalna satelity na orbicie o promieniu R, a jaka na orbicie o promieniu 4R?
Jaka była zmiana energii potencjalnej przy zmianie orbity?
Wyprowadzićć wzór na różnicę tej zmiany i wzór na stosunek (iloraz) energii na obu orbitach.
Założenia (czyli uproszczenia):
1. Planeta jest kulą o promieniu r.
2. Masa planety wynosi M i jest rozmieszczona równomiernie (może być symetria sferyczna).
3. Satelita okrąża planetę po orbicie kołowej o promieniu R większym niż promień planety (ruch po okręgu).
4. Planeta nie ma atmosfery - brak oporów ruchu (zachowana jest energia kinetyczna przy ruchu po tej samej orbicie).
Satelita na orbicie kołowej o promieniu R ma prędkość określoną wzorem wynikającym z zasad dynamiki i prawa powszechnej grawitacji:

Prędkość tę nazywamy pierwszą prędkością kosmiczną dla orbity R (dla różnych orbit prędkość ta przyjmuje różne wartości).
Na orbicie o promieniu r satelita o masie m ma energię potencjalną

Energia potencjalna jest ujemna, bo zakładamy, że dla ciał oddalonych bardzo, bardzo daleko energia potencjalna jest równa zero. Dla oddalenia od siebie ciał oddziałujących grawitacyjnie trzeba wykonać pracę czyli energię należy zwiększyć.
Na orbicie o promieniu 4R satelita będzie miał energię potencjalną

Energia potencjalna satelity wzrosła o

Energia potencjalna satelity wzrosła, ale nadal jest ujemna.

Energia wzrosła 4 razy